Консультация перед вступительным в МИРЭА: разбор пяти задач

Перед вступительным экзаменом в магистратуру РТУ МИРЭА проводят консультацию — на ней показывают задачи ровно того формата, который ждёт на самом экзамене. Разбираем пять задач с консультации: решение целиком, ответ и то место, где на каждой из них чаще всего теряют баллы.

Оговорка. Ниже — наш собственный разбор задач, показанных на консультации, а не публикация экзаменационных материалов. Условия пересказаны, все выкладки и ответы мы посчитали сами. Совпадения с реальными вариантами возможны только по типу задач — числа на экзамене будут другие. Если заметите неточность — напишите нам, поправим.

Задача 1. Предел с корнями

Вычислить предел при x → 3 дроби (√(3x + 7) − √(4x + 4)) / (x − 3).

Подстановка даёт 0/0: оба корня в точке x = 3 равны √16 = 4, знаменатель тоже обнуляется. Раз в числителе разность корней, домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение √(3x + 7) + √(4x + 4). Разность корней превращается в разность подкоренных выражений:

(3x + 7) − (4x + 4) = −x + 3 = −(x − 3).

Скобка (x − 3) сокращается со знаменателем, остаётся −1 / (√(3x + 7) + √(4x + 4)). Подставляем тройку: −1 / (4 + 4). Ответ: −1/8.

Где теряют балл. Знак. Разность подкоренных даёт именно −(x − 3), и минус легко потерять при сокращении — тогда ответ выйдет +1/8, то есть неверный при полностью правильном методе. Второе типичное место — домножают только числитель, забыв про знаменатель.

Задача 2. Степень комплексного числа

Дано z = −√2/2 + (√2/2)·i. Вычислить z⁸³ − z².

Возводить в 83-ю степень в алгебраической форме бессмысленно — переходим к тригонометрической. Модуль |z| = √(1/2 + 1/2) = 1, значит степень его не изменит. Аргумент ищем по знакам: косинус отрицательный, синус положительный — это вторая четверть, φ = 3π/4.

По формуле Муавра z⁸³ даёт угол 83 · 3π/4 = 249π/4 = 62π + π/4. Полные обороты (62π — это 31 оборот) отбрасываем, остаётся π/4, то есть z⁸³ = √2/2 + (√2/2)·i. Для квадрата угол равен 3π/2, а это чистое −i.

Ответ: √2/2 + (1 + √2/2)·i.

Где теряют балл. Аргумент. Если считать его через арктангенс отношения мнимой части к вещественной, получится −π/4 — угол из четвёртой четверти, а число лежит во второй. Проверяйте четверть по знакам синуса и косинуса отдельно, а не по одному арктангенсу.

Задача 3. Модуль образа при отображении

Найти модуль числа f(z) = (2z + 5 − i) / (z + 2 + 3i) — образа точки z = 1 + 3i.

Подставляем: числитель 2(1 + 3i) + 5 − i = 7 + 5i, знаменатель 1 + 3i + 2 + 3i = 3 + 6i. Дальше стандартно — домножаем на сопряжённое к знаменателю (3 − 6i), получаем (51 − 27i)/45 = 17/15 − (3/5)·i, и считаем модуль: √((17/15)² + (3/5)²) = √(370/225).

Ответ: √370 / 15 ≈ 1,28.

Как быстрее. Модуль частного равен частному модулей, поэтому делить в общем виде было не обязательно: |f| = |7 + 5i| / |3 + 6i| = √74 / √45 — тот же ответ в две строки вместо шести. На экзамене, где 120 минут на пять задач, такие сокращения стоят дороже аккуратности в лишних вычислениях.

Задача 4. Функция по производной

Известно, что f′(x) = 2x + 1 и f(0) = 3. Найти f(2).

Интегрируем производную: f(x) = ∫(2x + 1)dx = x² + x + C. Начальное условие f(0) = 3 даёт C = 3 — в этом и смысл условия: из целого семейства кривых выбирается ровно одна. Значит f(x) = x² + x + 3 и f(2) = 4 + 2 + 3.

Ответ: 9.

Где теряют балл. Забывают константу интегрирования. Без неё получилось бы f(2) = 6 — и задание, которое решается в две строки, уходит в ноль. Это же самая частая ошибка в задачах Коши из билетов, где по производной восстанавливают функцию.

Задача 5. Вторая производная логарифма

Вычислить f″(π/3), если f(x) = ln √((sin x + 1)/(sin x − 1)).

Главный ход — не бросаться дифференцировать дробь под корнем, а сначала разобрать логарифм по свойствам: корень выносится степенью 1/2, частное превращается в разность. Получаем f(x) = ½·(ln(sin x + 1) − ln(sin x − 1)) — дальше дифференцируются два простых слагаемых.

После приведения к общему знаменателю в скобке возникает sin²x − 1 = −cos²x, и всё схлопывается до неожиданно короткого результата: f′(x) = 1/cos x. Вторая производная — производная секанса: f″(x) = sin x / cos²x. Подставляем π/3: (√3/2) / (1/4).

Ответ: 2√3.

Тонкость. Строго говоря, дробь под корнем отрицательна при всех допустимых x (числитель неотрицателен, знаменатель отрицателен), так что в вещественном смысле функция не определена ни в одной точке. Задача формальная: если поставить внутри логарифма модуль, все выкладки повторяются слово в слово и ответ не меняется. Отмечать это на экзамене не нужно — но понимать, почему выражение странное, полезно.

Что из этого следует

Все пять задач — базовая техника, ни одной «олимпиадной» идеи. Проверяют не догадку, а то, доведены ли до автоматизма стандартные ходы: сопряжённое при корнях, тригонометрическая форма при больших степенях, свойства логарифма перед дифференцированием, константа при интегрировании. Ровно на этих же приёмах держится базовая часть билета — задания 1–3, которые дают 45 баллов при пороге 30.

Обратите внимание, что четыре ошибки из пяти разобранных — не в методе, а в мелочах: знак, четверть, константа. На экзамене с кратким ответом в рамку такая мелочь стоит целого задания, потому что промежуточных баллов за часть A не дают.

Где потренировать то же самое

Задачи этих типов есть в тренажёре: он генерирует варианты со случайными числами в формате экзамена и считает ответы точно, так что один и тот же приём можно повторять, пока он не станет автоматом. Пределы с иррациональностью подробнее разобраны в статье про тренажёр по пределам, а полный список тем — в разборе тем вступительного. Посмотреть, как те же приёмы выглядят в настоящих вариантах, можно в билетах прошлых лет с пошаговыми разборами.

Гарантировать конкретный балл нельзя — результат зависит от вашей базы. Но задачи вроде разобранных выше решаются не озарением, а насмотренностью: чем больше однотипных вариантов пройдено, тем меньше шансов потерять балл на знаке или забытой константе.